Определение координаты движущегося тела

Есть одна фундаментальная вещь! У меня есть пример, когда студенты до второго курса технического ВУЗа допускали глупые ошибки, потому что недостаточно понимали это.

Положение тела можно задать набором координат. Например, (50, -70, 10), что означает «тело сдвинуто от начала координат на 50 единиц по оси X, на 70 единиц против оси Y, на 10 единиц по Z».

В математике три (или два) числа с указанием координат называются вектором или радиус-вектором. Чтобы представить радиус-вектор в терминах «направленного отрезка-стрелочки», надо вообразить эту стрелку, исходящую из начала координат, и указывающую в интересующую нас точку.

opredeleniye-koordinaty-dvizhushchegosya-tela

$\vec{OA} координата$ - радиус-вектор точки A.

Зачем вообще нужны эти векторы, ведь, казалось бы, можно обойтись точками?

Но дело в том, что многие уравнения в физике записаны именно векторами (т.к. многие тела движутся в пространстве в каком-либо направлении), и если мы будем воспринимать точки как вектора, то нам будет легче проводить все расчёты.

К тому же есть множество калькуляторов, которые отлично работают с векторами – это позволяет вместо ряда уравнений для скаляров написать всего одно уравнение для векторов. Так что стоит помнить, что вектор – это не только «стрелочка», но и упорядоченный набор чисел.

Кроме того, векторная запись – это отличный способ не запутаться в знаках. Опыт показывает, что ученики и студенты допускают ощутимо больше ошибок со знаками, когда не пользуются векторной записью.

Смотрите, как можно расписать векторные уравнения очень простым способом.

Векторное уравнение:

$\vec{r} = \vec{r_{o}} + \vec{V}t$

В скалярной форме выглядит как система уравнений:

$скалярное выражение координаты$

Т.е. чтобы превратить векторное уравнение в скалярное, достаточно расписать проекции этого уравнения на все оси, что значит заменить вектор « $\vec{r}$ » на скаляры «x» и «y», а вектор « $\vec{v}$ » на проекции «v_x» и «v_y».

Как определять координаты движущегося тела

Допустим, тётя Люда на Камазе выехала из Москвы и проехала по трассе на север 90 километров. А затем развернулась обратно и проехала 150 километров (утюг, например, забыла выключить в Подмосковье). А дядя Витя на коне за это же время стартовал на 200 км южнее Москвы, и проскакал 120 км на север.

Вопрос: на каком расстоянии друг от друга тётя Люда и дядя Витя?

Примем Москву за начало координат. Введём также одну координатную ось, и направим её на север. Назовём ось X.

Далее смотрите внимательно, чтобы не запутаться!

Стартовая позиция тёти Люды: $\vec{R_{L}0} = \vec{0}$

Первое перемещение тёти Люды обозначим как $\vec{S_{L}1}$ и его проекция на X равна $\vec{S_{L}1_{X}}$ = 90 км (вспоминаем, что она сначала ехала на север).

Второе перемещение тёти Люды $\vec{S_{L}2}$ и его проекция на X равна $\vec{S_{L}2_{X}}$ = -150 км (минус – потому что вектор направлен против оси X (вниз)).

Тогда последнее местоположение тёти Люды равно

$\vec{R_{L}2} = \vec{R_{L}0} +\vec{S_{L}1}+\vec{S_{L}2}$

Т.е. начальное положение + 1-е передвижение + 2-е передвижение.

Если переписать в скалярном виде, получается:

x_L2 = r_L0x + S_L1x + S_L2x = 0 + 90 - 150 = -60 км

Стартовая позиция дяди Вити $\vec{R_{V}0}$ на 200 км южнее Москвы, то есть проекция $\vec{R_{V}0_{X}}$ = -200 км. А проекция перемещения дяди Вити равна $\vec{S_{V}1_{X}}$ =120 км.

А радиус-вектор последнего местоположения дяди Вити равен: $\vec{R_{V}1} = \vec{R_{V}0}+\vec{S_{V}1_{X}}$ Т.е. также: стартовая позиция + 1-е перемещение.

Если спроецировать на оси, получится:

x_V1= r_V0x+ S_V1x = -200 + 120 = -80 км.

Расстояние между дядей Витей и тётей Людой равно модулю от разности их радиус-векторов $D_{LV}=\left | \vec{R_{L}2} - \vec{R_{V}1} \right |$

D_LV= |-60 - (-80)| = 20 км

Обратите внимание, что здесь всегда используется модуль, поскольку расстояние между объектами никогда не может быть отрицательным.

Если бы у нас была задача с двумя координатами, мы бы её решали примерно так же, за исключением двух моментов:

Векторные уравнения мы расписывали бы как системы из двух уравнений с проекциями.
Модуль вектора мы рассчитывали бы по теореме Пифагора.