Предмет стереометрии. Аксиомы и теоремы

До этого, мы, в основном, изучали планиметрию (геометрические фигуры на плоскости). И лишь в середине 9-го класса перешли к стереометрии (фигурам в пространстве).

В пространстве могут встречаться и простые фигуры: точки, прямые. И плоскости (обозначаются греческими буквами: α, η, γ,…). И даже объемные геометрические тела: многогранники, шары, цилиндры, и др. Все они есть в реальной природе и/или созданы руками человека.

Поверхность тела (его граница) отделяет фигуру от всего остального пространства. Так как мы рисуем на двухмерном листе бумаги, то штриховыми линиями отмечаем «невидимые» глазу поверхности тел, чтобы передать впечатление объема.

Важные аксиомы стереометрии

Здесь перечислены не все аксиомы, но эти будут иметь первостепенное значение и относится ко всем пространственным фигурам:

1. Через любые 3 точки, которые не лежат на одной прямой, проходит только одна плоскость.

Через одну и две точки может проходить огромное количество плоскостей. Через 4 точки уже может не быть ни одной плоскости, а вот 3 - это самое оно для единственной плоскости.

2. Если 2 точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой находятся на этой плоскости.

Приложите линейку (ручку, карандаш,…) к бумаге или столу и всё сразу станет понятно.

Если на плоскость попала только одна точка от прямой, то аксиома вообще не сработает. Ведь в этом случае, прямая просто пересекает плоскость в одной точке.

3. Если у 2-х плоскостей есть общая точка, то у них есть целая общая прямая, где лежат все их общие точки.

Два листа бумаги помогут Вам быстро понять эту аксиому ;)

Из этих аксиом следуют важные теоремы

1. Через прямую и точку, которая не лежит на ней, можно провести только одну плоскость.

Доказательство теоремы очень простое. На прямой а отмечаем две точки. Теперь у нас есть одна точка, которая существует отдельно и две точки на одной прямой (всего 3 точки). А через эти три точки проходит единственная плоскость α (см. аксиому 1). И согласно 2-й аксиоме, все точки прямой а лежат на этой прямой, значит плоскость будет единственная.

2. Через две пересекающихся прямых проходит только одна плоскость.

Доказательство аналогично предыдущей теореме, только отметим точку пересечения прямых и по одной точке на каждой прямой.