Выделение квадратов

Любой трехчлен можно рассмотреть, не является ли он квадратом суммы или разности.

Например,

16b² - 8bc + c²

Видим, что 16 - квадрат числа 4.

У члена c², коэффициент равен 1 - это квадрат единицы.

А 8 - это 2*4*1

Похоже, что перед нами квадрат разности

(4b - c)²

Проверим:

(4b - c)² = (4b - c)(4b - c) = 16b² - 8bc + c²

Да, версия была верной.

Для быстрого поиска таких квадратных сумм или разностей желательно хорошо помнить квадраты чисел:

1*1 = 1

2*2 = 4

3*3 = 9

И т.д. хотя бы до 12, так как 12*12 = 144 тоже часто встречается в упражнениях.

Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Если нам чего-то не хватает до выделения квадрата суммы или квадрата разности, то мы можем добавить или убрать цифры, это часто помогает при решении уравнений.

Например, есть трехчлен:

25x²+ 10x + 5

В нём почти всё хорошо:

- есть квадрат первого числа (5x)²

- есть удвоенная сумма (2*5x*1)

- но цифра 5 - это слишком много, чтобы получить квадрат суммы (5x + 1)² , ведь нам нужна только единица, тогда мы берем и просто выносим лишнее за скобки, чтобы получить:

25x²+ 10x + 5 = (5x + 1)² + 4

Всё вполне законно, ведь мы не потеряли никаких цифр!