Графическое решение квадратных неравенств

Речь идет о выражениях, где а ≠ 0 и выражение: ax²+ bx + c больше, либо меньше нуля.

Полезный лайфхак: если «а» отрицательное, то удобнее умножить обе части неравенства на «-1», чтобы в дальнейшем проще работать с параболой, в которой ветви направлены вверх.

Пример: неравенство: x² - 2x - 8 < 0

Найдем ось симметрии:

x = - b / 2a = - (-2) / 2*1 = 1

И определи точку вершины, подставив «x» в уравнение: 1*1 - 2*1 - 8 = -9

Соответственно, точка (1; -9) - это вершина параболы.

Т.к. a > 0 ветви направлены вверх.

Точки пересечения параболы с осью абсцисс определим через дискриминант:

D = (-2)*(-2) - 4*1*(-8) = 36

x_1,2 = (2 ± 6) / 2

x_1,2 = -2; 4

Можно рисовать график, причем, точно нарисовав только три точки: вершину и пересечение с абсциссой, дальнейшую красоту не так важно наводить:

Graficheskoye-resheniye-kvadratnykh-neravenstv Поскольку мы ищем значения y < 0, значит, на графике смотрим, что лежит ниже оси абсцисс. А это часть параболы при значениях x от -2 до 4, это и будет решением нашего неравенства.

x ∈ (-2; 4)

Обратите внимание, что мы ставим круглые скобки, так как по условиям у нас указано < , а не ≤.

Если бы у нас был наоборот знак больше, то мы бы взяли промежутки

(-∞; -2) $\cup$ (4; +∞) , а если знак ≥, то (-∞; -2] $\cup$ [4; +∞)

Для проверки вы всегда можете также подставлять в неравенство значения «x» и смотреть полученные значения.

Например, здесь, подставив 3, получаем: 3² - 2*3 - 8 < 0

9 - 6 - 8 < 0

-5 < 0 то, что нужно.

Или, подставив, 5: 5² - 2*5 - 8 < 0

25 - 10 - 8 < 0

7 < 0 и это уже неподходящее нам по условию значение.

Graficheskoye-resheniye-kvadratnykh-neravenstv-2 Все квадратные неравенства можно легко решать по этой табличке графическим методом:

Если вам встречается задание с модулем x:

x² + 2|x| - 4 < 24

То вы строите два графика:

x² + 2*(-x) - 4 < 24

x² + 2*(x) - 4 < 24

И смотрите все нужные точки.