Физический смысл производной - определение и задачи

Физический смысл производной обозначился ещё с практических задач мгновенной скорости, прямолинейного движения и даже свободного падения.

Всё дело в том, что любое тело при движении или падении перемещается неравномерно. Скорость (v) может постепенно возрастать или наоборот уменьшаться (в случае падения, конечно, только возрастать).

Поэтому смотрим на две точки во времени:

Момент времени: t₁ = t

Другой момент времени (и другая точка нахождения тела): t₂ = t + $\Delta t$

За это время был пройден путь: $\Delta s$

И s мы выражаем в виде функции от времени - s(t)

$v _{\Delta t} = \frac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t}$ или проще: $\frac{\Delta s}{\Delta t}$

Но брать в физике среднюю скорость стало не совсем удобно, так как требовались более точные измерения (привет физическому смыслу производной).

В общем, появляется понятие о мгновенной скорости прямолинейного движения (по сути, скорости в конкретный момент времени t). Так средняя скорость в пределе, при $\Delta t \rightarrow 0$ получает значение:

$v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$ по сути, $v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Теперь ясно, что мгновенная скорость - это предел приращения функции s(t) деленный на приращение аргумента t (с $\Delta t \rightarrow 0$ ).

А вот и производная в её общем виде, где производная ф-ции y=f(x) в точке x является пределом (при условии его существования и конечности) приращения самой функции деленным на приращение аргумента, который стремится к нулю:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ или же: $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$