Длина дуги окружности и радианы

Тригонометрия - это умение пользоваться треугольниками для изменения (дословный перевод - «измеряю треугольник»). С давних времен, при помощи тригонометрии измеряли Землю и звездные объекты и проводили постройку зданий.

Но начинается тригонометрия даже не с треугольника, а с круга!

Про дугу окружности мы уже говорили ранее. Дуга окружности ограничена углом из двух радиусов. Если мы возьмем 360 таких углов по одному градусу и совместим их, то получим круг (словно колесо нашпигованное спицами).

Вспомним ещё одно интересное число π (Пи) = 3,1415,…. Оно постоянно и произошло от деления длины окружности на его диаметр. Длина/диаметр = π. Увеличиваем диаметр, соразмерно увеличится длина окружности, именно во столько раз (можете проверить, не верьте нам на слово!)

Так как диаметр окружности равен двум радиусам (2R), то длина всей окружности l = 2πR. Если не усложнять и взять R = 1, то l = 2π (фактически, эту единицу можно не учитывать).

Радиан и градусы

Угол в 1 радиан - это центральный угол (лучи выходят из центра), длина дуги у этого угла равна радиусу окружности (AB = R).

т.е. ∠AOB = 1 рад

Теперь вспомнинаем из текста выше, что l = 2πR или теперь можно сказать, что l = 2π рад = 360°, а если взять половину окружности, то π рад = 180°. Т.е. половина окружности - это 3 радиана (длины радиуса окружности) и еще хвостик из примерно 0,1415 радиана.

Обратите внимание, что "рад" часто не пишется, просто имеется ввиду, поэтому, если увидите, например sinπ/4, то знайте, что это sin45°. Или sinπ/6 = sin30° и т.д.

Значит, 1° = π рад / 180° или просто π / 180°

Если прикинуть по-другому, то 180° / π и получаем примерно 60° (точнее 57,3° с копейками). Кстати, здесь градусы уже есть, поэтому π подразумевается, как обычное число π = 3,1415...

Если желаете хорошо запомнить и понять таблицу синусов, ксинусов, тангенсов и котангенсов, то смотрите этот урок по ссылке из геометрии/9 класс, а также до/после него.