Присоединяйтесь к онлайн-школе и получайте доход за интересные сообщения и другие действия!

ЗНАНИЯ

Определение координаты движущегося тела

Есть одна фундаментальная вещь! У меня есть пример, когда студенты до второго курса технического ВУЗа допускали глупые ошибки, потому что недостаточно понимали это.

Положение тела можно задать набором координат. Например, (50, -70, 10), что означает «тело сдвинуто от начала координат на 50 единиц по оси X, на 70 единиц против оси Y, на 10 единиц по Z».

В математике три (или два) числа с указанием координат называются вектором или радиус-вектором. Чтобы представить радиус-вектор в терминах «направленного отрезка-стрелочки», надо вообразить эту стрелку, исходящую из начала координат, и указывающую в интересующую нас точку.

opredeleniye-koordinaty-dvizhushchegosya-tela

\vec{OA} координата - радиус-вектор точки A.

Зачем вообще нужны эти векторы, ведь, казалось бы, можно обойтись точками?

Но дело в том, что многие уравнения в физике записаны именно векторами (т.к. многие тела движутся в пространстве в каком-либо направлении), и если мы будем воспринимать точки как вектора, то нам будет легче проводить все расчёты.

К тому же есть множество калькуляторов, которые отлично работают с векторами – это позволяет вместо ряда уравнений для скаляров написать всего одно уравнение для векторов. Так что стоит помнить, что вектор – это не только «стрелочка», но и упорядоченный набор чисел.

Кроме того, векторная запись – это отличный способ не запутаться в знаках. Опыт показывает, что ученики и студенты допускают ощутимо больше ошибок со знаками, когда не пользуются векторной записью.

Смотрите, как можно расписать векторные уравнения очень простым способом.

Векторное уравнение:

\vec{r} = \vec{r_{o}} + \vec{V}t

В скалярной форме выглядит как система уравнений:

скалярное выражение координаты

Т.е. чтобы превратить векторное уравнение в скалярное, достаточно расписать проекции этого уравнения на все оси, что значит заменить вектор «\vec{r}» на скаляры «x» и «y», а вектор «\vec{v}» на проекции «vx» и «vy».

Как определять координаты движущегося тела

Допустим, тётя Люда на Камазе выехала из Москвы и проехала по трассе на север 90 километров. А затем развернулась обратно и проехала 150 километров (утюг, например, забыла выключить в Подмосковье). А дядя Витя на коне за это же время стартовал на 200 км южнее Москвы, и проскакал 120 км на север.

Вопрос: на каком расстоянии друг от друга тётя Люда и дядя Витя?

Примем Москву за начало координат. Введём также одну координатную ось, и направим её на север. Назовём ось X.

Далее смотрите внимательно, чтобы не запутаться!

Стартовая позиция тёти Люды: \vec{R_{L}0} = \vec{0}

Первое перемещение тёти Люды обозначим как \vec{S_{L}1}и его проекция на X равна \vec{S_{L}1_{X}}= 90 км (вспоминаем, что она сначала ехала на север).

Второе перемещение тёти Люды \vec{S_{L}2}и его проекция на X равна \vec{S_{L}2_{X}}= -150 км (минус – потому что вектор направлен против оси X (вниз)).

Тогда последнее местоположение тёти Люды равно

\vec{R_{L}2} = \vec{R_{L}0} +\vec{S_{L}1}+\vec{S_{L}2}

Т.е. начальное положение + 1-е передвижение + 2-е передвижение.

Если переписать в скалярном виде, получается:

xL2 = rL0x + SL1x + SL2x = 0 + 90 - 150 = -60 км


Стартовая позиция дяди Вити \vec{R_{V}0}на 200 км южнее Москвы, то есть проекция \vec{R_{V}0_{X}}= -200 км. А проекция перемещения дяди Вити равна \vec{S_{V}1_{X}}=120 км.

А радиус-вектор последнего местоположения дяди Вити равен: \vec{R_{V}1} = \vec{R_{V}0}+\vec{S_{V}1_{X}} Т.е. также: стартовая позиция + 1-е перемещение.

Если спроецировать на оси, получится:

xV1 = rV0x + SV1x = -200 + 120 = -80 км.


Расстояние между дядей Витей и тётей Людой равно модулю от разности их радиус-векторов D_{LV}=\left | \vec{R_{L}2} - \vec{R_{V}1} \right | 

DLV = |-60 - (-80)| = 20 км

Обратите внимание, что здесь всегда используется модуль, поскольку расстояние между объектами никогда не может быть отрицательным.


Если бы у нас была задача с двумя координатами, мы бы её решали примерно так же, за исключением двух моментов:

  1. Векторные уравнения мы расписывали бы как системы из двух уравнений с проекциями.
  2. Модуль вектора мы рассчитывали бы по теореме Пифагора.

<< Предыдущий урок
ОПЫТ:

Задание 1

При правильном ответе Вы получите 1 балл

Какое из этих уравнений позволяет получить координату тела после перемещения?

Выберите всего один правильный ответ.

Ответить
Задание 2

При правильном ответе Вы получите 1 балл

Тело находилось в точке (3, 2), когда ось Х была направлена на восток, а Y на север. Затем оно сдвинулось на 5 метров южнее и на метр восточнее. Где теперь находится тело?

Выберите всего один правильный ответ.

Ответить
Задание 3

При правильном ответе Вы получите 1 балл

Вася вышел из дома и прошёл 100 метров на север. Затем 100 м на восток. Затем 200 м на юг. В это время Петя вышел из того же дома. Он прошёл 150 м на запад, затем 50 м на восток, а затем 100 м на юг. Какое расстояние получилось между Васей и Петей в конце их пути?

Выберите всего один правильный ответ.

Ответить
Следующий урок >>
Комментарии:

Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

<<
>>