Присоединяйтесь к онлайн-школе и получайте бонусы за интересные сообщения и другие действия!

ЗНАНИЯ

Физический смысл производной - определение и задачи

Физический смысл производной обозначился ещё с практических задач мгновенной скорости, прямолинейного движения и даже свободного падения.

Всё дело в том, что любое тело при движении или падении перемещается неравномерно. Скорость (v) может постепенно возрастать или наоборот уменьшаться (в случае падения, конечно, только возрастать).

Поэтому смотрим на две точки во времени:

Момент времени: t1 = t

Другой момент времени (и другая точка нахождения тела): t2 = t + \Delta t

За это время был пройден путь: \Delta s

И s мы выражаем в виде функции от времени - s(t)

v _{\Delta t} = \frac{s(t+\Delta t) - s(t)}{\Delta t} или проще: \frac{\Delta s}{\Delta t}

Но брать в физике среднюю скорость стало не совсем удобно, так как требовались более точные измерения (привет физическому смыслу производной).

В общем, появляется понятие о мгновенной скорости прямолинейного движения (по сути, скорости в конкретный момент времени t). Так средняя скорость в пределе, при \Delta t \rightarrow 0 получает значение:

v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} по сути, v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}

Теперь ясно, что мгновенная скорость - это предел приращения функции s(t) деленный на приращение аргумента t (с \Delta t \rightarrow 0). 

А вот и производная в её общем виде, где производная ф-ции y=f(x) в точке x является пределом (при условии его существования и конечности) приращения самой функции деленным на приращение аргумента, который стремится к нулю:

f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} или же: \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Решение этой задачи и становится физическим смыслом производной.


Решим простой пример

y = f(x) = 2x^{2} + 1

Начнем с приращения \Delta x:

y + \Delta y = f(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x)^{2} + 1

Раскрываем скобки:

2(x)^{2} + 4x*\Delta x + 2(\Delta x)^{2} + 1

Ищем приращение функции:

\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) =

= (2(x)^{2} + 4x*\Delta x + 2(\Delta x)^{2} + 1) - (2x^{2} + 1) =

= 4x*\Delta x + 2(\Delta x)^{2}

Находим приращение ф-ции к приращению аргумента:

\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{4x*\Delta x + 2(\Delta x)^{2}}{\Delta x} = \frac{\Delta x (4x + 2\Delta x)}{\Delta x} = 4x + 2\Delta x 

И мы дошли до предела при \Delta x \rightarrow 0 (по сути, производной):

y' = f'(x) = \lim_{\Delta \rightarrow 0}(4x + 2\Delta x) = 4x

И еще немного о физическом смысле производной

По примерам выше можно понять варианты физических переменных и производных указанных ниже (просто в формате шпаргалки):

Скорость и ускорение тела:

Находим скорость от времени: v(t) = x'(t)

Ускорение по функции скорости от времени: a(f) = v'(t) 

Или еще вариант ускорения по времени: a(t) = x"(t)

Угловая скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

Угол от времени: φ = φ(t)

Угловая скорость по времени: ω = φ'(t)

Угловое ускорение: ε  = φ'(t) или ε = φ"(t).

Решение для гармонических колебаний:

у'' = Asin(ωt + φ0) или у = Acos(ωt + φ0), при

А - амплитуда колебаний

ω - циклическая частота

φ- начальная фаза

Категории
ОПЫТ:

Задание 1

При правильном ответе Вы получите 4 балла

Физический смысл производной в задачах:

Закон для материальной точки: \frac{1}{3}t^{3} - 3t^{2} - 5t +3​​​​​​​

Найти момент времени, когда скорость материальной точки составляла 2 м/с. 

x(t) - расстояние от начальной точки в метрах

t - время в секундах


Материальная точка движется прямолинейно по закону {1/3}t^3-3t^2-5t+3, где  x(t)— расстояние от точки отсчета в метрах,  t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

v

Установите нужное значение на ползунке.

Ответить
Задание 2

При правильном ответе Вы получите 4 балла

Материальная точка осуществляет прямолинейное движение по закону:

x(t)=\frac14t^3-4t^2+t

x - это расстояние от точки отсчёта в метрах

t - это, естественно, время, выраженное в секундах и измеренное с начала движения.

В какой момент времени (в секундах) её скорость была 13 м/с?

Выберите всего один правильный ответ.

Ответить
Категории
Комментарии:

Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

<<
>>